Question

已知

a

=（3，-cos（ωx）），

b

=（sin（ωx），

3

），其中ω＞0，函数f（x）=

a

•

b

的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且f（

A

2

）=

3

，a=

3

b求角A、B、C的大小．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量的综合题

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，变形后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据周期公式求出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；
（2）由（1）确定出的解析式及f（

A

2

）=

3

，求出A的度数，再由a=

3

b，利用正弦定理求出sinB的值，进而确定出B的度数，即可得出C的度数．

解答： 解：（1）f（x）=3sinωx-

3

cosωx=2

3

（

3

2

sinωx-

1

2

cosωx）=2

3

sin（ωx-

π

6

），
∵T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，即f（x）=2

3

sin（2x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（2）∵f（

A

2

）=2

3

sin（A-

π

6

）=

3

，
∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，即A=

π

3

，
∵

a

sinA

=

b

sinB

，a=

3

b，
∴sinB=

bsinA

a

=

3

3

×

3

2

=

1

2

，
∵a＞b，∴A＞B，
则B=

π

6

，A=

π

3

，C=

π

2

．

点评：此题考查了正弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．