Question

已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=4分别交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设直线AS，BS的斜率分别为k₁，k₂，求证k₁•k₂为定值；
（ⅱ）求线段MN的长度的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用直线x-2y+2=0经过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点A和上顶点D，求出A，D的坐标，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设点S的坐标为（x₀，y₀），可得k1•k2=

y0

x0-2

•

y0

x0+2

=

y02

x02-4

，利用点S在椭圆上，即可证明k₁•k₂为定值；
（ⅱ）设直线AS的方程为y=k₁（x+2），可得M的坐标，利用k1•k2=-

1

4

，可得直线BS的方程，从而可得N的坐标，求出MN，利用基本不等式，即可求线段MN的长度的最小值．

解答： （Ⅰ）解：∵直线x-2y+2=0经过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点A和上顶点D，
∴A（-2，0），D（0，1），
∴椭圆 C的方程为

x2

4

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设点S的坐标为（x₀，y₀），
∴k1•k2=

y0

x0-2

•

y0

x0+2

=

y02

x02-4

…（5分）
∵点S在椭圆上，
∴

x02

4

+y02=1，∴x02-4=-4y02
∴k1•k2=-

1

4

…（7分）
（ⅱ）解：设直线AS的方程为y=k₁（x+2），则M（4，6k₁）且k₁＞0…（9分）
∵k1•k2=-

1

4

∴直线BS的方程为y=-

1

4k1

(x-2)…（10分）
∴N(4，-

1

2k1

)，…（11分）
故|MN|=6k1+

1

2k1

，…（12分）
∴|MN|=6k1+

1

2k1

≥2

6k1× 1 2k1

=2

3

，…（13分）
当且仅当6k1=

1

2k1

，即k1=

3

6

时等号成立，
∴k1=

3

6

时，线段MN的长度取得最小值为2

3

．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．