已知函数f（x）=x³+

5

2

x²+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x₀，使得f（x₀）=x₀与f′（x₀）=0同时成立，求实数b的取值范围；
（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l₁与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l₂，设切线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂．问：是否存在常数λ，使得k₂=λk₁？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

1

2

PD
（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q-BP-C的余弦值．
（3）求点P到平面BQD的距离．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（

6

，1），离心率为

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知点P（

6

，0），若A，B为已知椭圆上两动点，且满足

PA

•

PB

=-2，试问直线AB是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．

已知抛物线y²=4x的焦点为F₂，点F₁与F₂关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴（垂足为T），与抛物线交于不同的两点P、Q，且

F1P

•

F2Q

=-5．
（Ⅰ）求点T的横坐标x₀；
（Ⅱ）若椭圆C以F₁，F₂为焦点，且F₁，F₂及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为1．
①求椭圆C的标准方程；
②过点F₂作直线l与椭圆C交于A，B两点，设

F2A

=λ

F2B

，若λ∈[-2，-1]，求|

TA

+

TB

|的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程

x= 3 + 2 2 t y=2- 2 2 t.

（t为参数），以原点O为极点，Ox轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=2

3

cosθ，
（I） 求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C与直线l交于A、B两点，若P(

3

，2)，求|PA|+|PB|和|AB|．

如图所示，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E为棱AA₁的中点．
（1）证明：B₁C₁⊥CE； 
（2）设点M在线段C₁E上，且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为

2

6

．求线段AM的长．

已知函数f（x）=

1

x

+alnx．
（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，试求a的取值范围；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）+ax-lnx，a∈[1，e]（e为自然对数的底），是否存在常数t，使h（x）≥t恒成立，若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．

（1）已知|x-4|+|3-x|＜a若不等式的解集为空集，求a的范围
（2）已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，求证：a²+b²+c²≥

1

3

．

已知函数f(x)=

16x+7

4x+4

，数列{a_n}，{b_n}满足a₁＞0，b₁＞0，a_n=f（a_n-1），b_n=f（b_n-1），n=2，3…
（Ⅰ）若a₁=3，求a₂，a₃；
（Ⅱ）求a₁的取值范围，使得对任意的正整数n，都有a_n+1＞a_n；
（Ⅲ）若a₁=3，b₁=4，求证：0＜bn-an≤

1

8n-1

，n=1，2，3…

如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．
（1）求证：A′D⊥EF；
（2）求A′到面EFD的距离．