Question

已知函数f(x)=

16x+7

4x+4

，数列{a_n}，{b_n}满足a₁＞0，b₁＞0，a_n=f（a_n-1），b_n=f（b_n-1），n=2，3…
（Ⅰ）若a₁=3，求a₂，a₃；
（Ⅱ）求a₁的取值范围，使得对任意的正整数n，都有a_n+1＞a_n；
（Ⅲ）若a₁=3，b₁=4，求证：0＜bn-an≤

1

8n-1

，n=1，2，3…

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（I）由an=f(an-1)=

16an-1+7

4an-1+4

，a₁=3，分别令n=2，3即可得出；
（II）先证明函数f（x）在x＞0时单调递增，只要满足a₂＞a₁即可．
（III）利用（II）的函数f（x）及数列的单调性，利用数学归纳法即可证明．

解答： 解：（I）∵an=f(an-1)=

16an-1+7

4an-1+4

，a₁=3，
∴a2=

16a1+7

4a1+4

=

16×3+7

4×3+4

=

55

16

，a3=

16a2+7

4a2+4

=

16× 55 16 +7

4× 55 16 +4

=

248

71

．
（II）∵f(x)=

16x+16-9

4x+4

=4-

9

4x+4

，当x＞0时，f′(x)=

9

4(x+1)2

＞0，∴函数f（x）单调递增．
因此只要a₂＞a₁即可得到a_n+1＞a_n．
由a₂=

16a1+7

4a1+4

＞a1，化为4

a

2 1

-12a1-7＞0，即（2a₁+1）（2a₁-7）＞0，
又a₁＞0，∴a1＞

7

2

．
因此当a1＞

7

2

时，对任意的正整数n，都有a_n+1＞a_n；
（III）下面用数学归纳法证明：当a₁=3，b₁=4，对于?n∈N^*，0＜bn-an≤

1

8n-1

成立．
（1）当n=1时，∵b₁-a₁=4-3=1，∴0＜b1-a1≤

1

81-1

=1成立．
（2）假设当n=k≥1（k∈N^*）时，结论0＜bk-ak≤

1

8k-1

成立．
则当n=k+1时，b_k+1-a_k+1=(4-

9

4bk+4

)-(4-

9

4ak+4

)=

9

4

•

bk-ak

akbk+ak+bk+1

≤

9

4

•

1 8k-1

3×4+3+4+1

=

9

10

×

1

8k

＜

1

8k+1-1

，因此当n=k+1时，不等式0＜b_k+1-a_k+1≤

1

8(k+1)-1

成立．
综上可知：当a₁=3，b₁=4，对于?n∈N^*，0＜bn-an≤

1

8n-1

成立．

点评：本题考查了利用函数的单调性可得数列的单调性、利用数学归纳法证明数列不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．