Question

如图所示，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E为棱AA₁的中点．
（1）证明：B₁C₁⊥CE； 
（2）设点M在线段C₁E上，且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为

2

6

．求线段AM的长．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明CC₁⊥B₁C₁，B₁C₁⊥C₁E，可得B₁C₁⊥平面CC₁E，即可证明结论；
（2）连结D₁E，过点M作MH⊥ED₁于点H，可得MH⊥平面ADD₁A₁，连结AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD₁A₁所成的角．设AM=x，求出EH，利用余弦定理建立方程，即可求线段AM的长．

解答： （1）证明：因为侧棱CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
所以CC₁⊥B₁C₁．
因为AD=CD=1，AA₁=AB=2，E为棱AA₁的中点，
所以B₁E=

5

，B₁C₁=

2

，EC₁=

3

，
从而B₁E²=B₁C

2 1

+EC

2 1

，
所以在△B₁EC₁中，B₁C₁⊥C₁E．
又CC₁，C₁E?平面CC₁E，CC₁∩C₁E=C₁，
所以B₁C₁⊥平面CC₁E，
又CE?平面CC₁E，故B₁C₁⊥CE．
（2）解：连结D₁E，过点M作MH⊥ED₁于点H，可得MH⊥平面ADD₁A₁，
连结AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD₁A₁所成的角．
设AM=x，从而在Rt△AHM中，有MH=

2

6

x，AH=

34

6

x．
在Rt△C₁D₁E中，C₁D₁=1，ED₁=

2

，得EH=

2

MH=

1

3

x．
在△AEH中，∠AEH=135°，AE=1，由AH²=AE²+EH²-2AE•EHcos 135°，得

17

18

x²=1+

1

9

x²+

2

3

x．
整理得5x²-2 

2

x-6=0，解得x=

2

（负值舍去），
所以线段AM的长为

2

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，考查余弦定理，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．