Question

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

1

2

PD
（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q-BP-C的余弦值．
（3）求点P到平面BQD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题

分析：（1）建立坐标系，证明

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0，可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC．故PQ⊥平面DCQ，即可证明平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求出平面PBC的法向量、平面PBQ的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角Q-BP-C的余弦值．
（3）利用等体积，即可求点P到平面BQD的距离．

解答： （1）证明：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz．
依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）．
则

DQ

=(1，1，0)，

DC

=(0，0，1)，

PQ

=(1，-1，0)．
所以

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0．
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC．
故PQ⊥平面DCQ．
又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ．…（4分）
（2）解：依题意有B（1，0，1），

CB

=(1，0，0)，

BP

=(-1，2，-1)．
设

n

=（x，y，z）是平面PBC的法向量，则

x=0 -x+2y-z=0

因此可取

n

=（0，-1，-2）．
同理可得平面PBQ的法向量

m

=（1，1，1），
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=-

15

5

．
故二面角Q-BP-C的余弦值为-

15

5

．…（8分）
（3）解：设P到平面BDQ距离为d，由V_P-BDQ=V_B-DQP=

1

3

S△DPQ•|

BA

|=

1

3

S△DPQ•d，
所以d=

2 3

3

（12分）

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，以及二面角的求解，同时考查了推理论证的能力，属于中档题．