Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（

6

，1），离心率为

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知点P（

6

，0），若A，B为已知椭圆上两动点，且满足

PA

•

PB

=-2，试问直线AB是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

c

a

=

2

2

，

6

a2

+

1

b2

=1，又a²=b²+c²，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=kx+m，代入

x2

8

+

y2

4

=1，消去y整理，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，由根的判别式和韦达定理结合已知条件求出直线AB的方程为y=k（x-

2 6

3

），从而得到直线AB经过定点（

2 6

3

，0）．当直线AB与x轴垂直时，直线方程为x=

2 6

3

，也有

PA

•

PB

=-2．由此证明直线AB一定过定点（

2 6

3

，0）．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）离心率为

2

2

，∴

c

a

=

2

2

，①
∵椭圆经过点M（

6

，1），∴

6

a2

+

1

b2

=1，②
又a²=b²+c²，③
∴由①②③联立方程组解得a²=8，b²=c²=4，
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）①当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=kx+m，
代入

x2

8

+

y2

4

=1，消去y整理，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，
由△＞0，得8k²+4-m²＞0，（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-8

2k2+1

，
∵点P（

6

，0），A，B为已知椭圆上两动点，且满足

PA

•

PB

=-2，
∴

PA

•

PB

=(x1-

6

)(x2-

6

)+y1y2
=(x1-

6

)(x2-

6

)+(kx1+m)(kx2+m)
=(k2+1)x1x2+(km-

6

)(x1+x2)+6+m2=-2，
∴(k2+1)•

2m2-8

2k2+1

+(km-

6

)•

-4km

2k2+1

+8+m²=0，
整理，得（

3

m+2

2

k）²=0，
解得m=-

2 6

3

k，满足（*）
∴直线AB的方程为y=k（x-

2 6

3

），
∴直线AB经过定点（

2 6

3

，0）．
②当直线AB与x轴垂直时，直线方程为x=

2 6

3

，
此时A（

2 6

3

，

2 6

3

），B（

2 6

3

，-

2 6

3

），也有

PA

•

PB

=-2，
综上，直线AB一定过定点（

2 6

3

，0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否过定点的判断与证明，综合性强，难度大，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．