题目内容

已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴（垂足为T），与抛物线交于不同的两点P、Q，且
F1P
•
F2Q
=-5．
（Ⅰ）求点T的横坐标x0；
（Ⅱ）若椭圆C以F1，F2为焦点，且F1，F2及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为1．
①求椭圆C的标准方程；
②过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，设
F2A
=λ
F2B
，若λ∈[-2，-1]，求|
TA
+
TB
|的取值范围．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）利用
F1P
•
F2Q
=-5，结合P（x0，y0）在抛物线上，即可求点T的横坐标x0；
（Ⅱ）①设椭圆C的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，利用F1，F2及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为1，即可求椭圆C的标准方程；
②分类讨论，当直线l的斜率存在时，即λ∈[-2，-1）时，设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，利用
F2A
=λ
F2B
，可得λ+
1
λ
+2=
-4
1+2k2
，求出k的范围，
TA
=（x1-2，y1），
TB
=（x2-2，y2），所以|
TA
+
TB
|=（x1+x2-4，y1+y2），利用韦达定理，用k表示，即可求|
TA
+
TB
|的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）由题意得F2（1，0），F1（-1，0），设P（x0，y0），Q（x0，-y0），
则
F1P
=(x0+1，y0)，
F2Q
=(x0-1，-y0)．
由
F1P
•
F2Q
=-5，
得x02-1-y02=-5即x02-y02=-4，①…（3分）
又P（x0，y0）在抛物线上，则y02=4x0，②
联立①、②易得x0=2…（5分）
（Ⅱ）①设椭圆的半焦距为c，由题意得c=1，
设椭圆C的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，
由
1
2
•2c•b=1，解得b=1…（6分）
从而a2=b2+c2=2，
故椭圆C的标准方程为
x2
2
+y2=1…（7分）
②（1）当直线l的斜率不存在时，即λ=-1时，A(1，
2
2
)，B(1，-
2
2
)，
又T（2，0），所以|
TA
+
TB
|=|(-1，
2
2
)+(-1，-
2
2
)|=2…（8分）
（2）当直线l的斜率存在时，即λ∈[-2，-1）时，设直线l的方程为y=k（x-1），
由
y=kx-k
x2
2
+y2=1
得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0；
设A（x1，y1），B（x2，y2），显然y1≠0，y2≠0，则由根与系数的关系，
可得：x1+x2=
4k2
1+2k2
，x1•x2=
2k2-2
1+2k2
…（9分）
y1+y2=k(x1+x2)-2k=
-2k
1+2k2
⑤
y1•y2=k2(x1x2-(x1+x2)+1)=
-k2
1+2k2
，⑥
因为
F2A
=λ
F2B
，所以
y1
y2
=λ，且λ＜0．
将⑤式平方除以⑥式得：λ+
1
λ
+2=
-4
1+2k2
．
由λ∈[-2，-1）得λ+
1
λ
∈[-
5
2
，-2)即λ+
1
λ
+2∈[-
1
2
，0)，
故-
1
2
≤
-4
1+2k2
＜0，解得k2≥
7
2
．…（10分）
因为
TA
=（x1-2，y1），
TB
=（x2-2，y2），所以
TA
+
TB
=（x1+x2-4，y1+y2），
又x1+x2-4=
-4(1+k2)
1+2k2
，
故|
TA
+
TB
|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2=
16(1+k2)2
(1+2k2)2
+
4k2
(1+2k2)2
=
4(1+2k2)2+10(1+2k2)+2
(1+2k2)2
=4+
10
1+2k2
+
2
(1+2k2)2
…（11分）
令t=
1
1+2k2
，因为k2≥
7
2
所以0＜
1
1+2k2
≤
1
8
，即t∈(0，
1
8
]，
所以|
TA
+
TB
|2=2t2+10t+4=2(t+
5
2
)2-
17
2
∈(4，
169
32
]．
所以|
TA
+
TB
|∈(2，
13
2
8
]…（13分）
综上所述：|
TA
+
TB
|∈[2，
13
2
8
）．…（14分）
点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系中，点P是由不等式组
x≥0
y≥0
x+y≥1
所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x+y=0上任意一点，O为坐标原点，则|
OP
+
OQ
|的最小值为（　　）
A、
5
5
B、
2
3
C、
2
2
D、1
由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取15人进行调查反馈，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min）：
组别 候车时间 人数
一 [0，5） 2
二 [5，10） 5
三 [10，15） 4
四 [15，20） 3
五 [20，25] 1
（Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（Ⅱ）若从上表第三、四组的7人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．
已知函数f（x）=
1
2
x2-（a+1）x+alnx+1
（Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极大值；
（Ⅱ）求a的范围，使得f（x）≥1恒成立．
已知函数f(x)=
16x+7
4x+4
，数列{an}，{bn}满足a1＞0，b1＞0，an=f（an-1），bn=f（bn-1），n=2，3…
（Ⅰ）若a1=3，求a2，a3；
（Ⅱ）求a1的取值范围，使得对任意的正整数n，都有an+1＞an；
（Ⅲ）若a1=3，b1=4，求证：0＜bn-an≤
1
8n-1
，n=1，2，3…
2014年2月21日《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》明确：坚持计划生育的基本国策，启动实施一方是独生子女的夫妇可生育两个孩子的政策．为了解某地区城镇居民和农村居民对“单独两孩”的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否赞成“单独两孩”的问题，调查统计的结果如下表：
态度
调查人群		 赞成 反对 无所谓
农村居民 2100人 120人 y人
城镇居民 600人 x人 z人
已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“反对”态度的人的概率为0.05．
（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
（2）在持“反对”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，按每组3人分成两组进行深入交流，求第一组中农村居民人数ξ的分布列和数学期望．
已知正数数列{an}中，a1=1，前n项和为Sn，对任意n∈N*，lgSn、lgn、lg
1
an
成等差数列．
（1）求an和Sn；
（2）设bn=
Sn
n ！
，数列{bn}的前n项和为Tn，当n≥2时，证明：Sn＜Tn＜2．
平行四边形ABCD中，
AB
=（1，0），
AC
=（2，2），则
AD
•
BD
等于
 
．
冬天是感冒传播的高发季节，连续6周中，每周患病发烧的人数如表所示，图为统计六周发烧人数的程序框图，则图中判断框，执行框应填（　　）
周次 1 2 3 4 5 6
发烧人数 a1 a2 a3 a4 a5 a6
A、i＜6；s=s+ai
B、i≤6；s=s+i
C、i≤6；s=s+ai
D、i＞6；s=a1+a2+…+ai

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