Question

已知函数f（x）=x³+

5

2

x²+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x₀，使得f（x₀）=x₀与f′（x₀）=0同时成立，求实数b的取值范围；
（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l₁与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l₂，设切线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂．问：是否存在常数λ，使得k₂=λk₁？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：压轴题,导数的综合应用

分析：（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；
（2）由于存在唯一的实数x₀，使得f（x₀）=x₀与f′（x₀）=0同时成立，则

x3+ 5 2 x2+(a-1)x+b=0 3x2+5x+a=0

存在唯一的实数根x₀，即b=2x³+

5

2

x²+x存在唯一的实数根x₀，就把问题转化为求函数最值问题；
（3）假设存在常数λ，依据曲线C在点A处的切线l₁与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l₂，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．

解答： 解：（1）当a=-2时，函数f（x）=x³+

5

2

x²-2x+b
则f′（x）=3x²+5x-2=（3x-1）（x+2）
令f′（x）＜0，解得-2＜x＜

1

3

，
所以f（x）的单调递减区间为（-2，

1

3

）；
（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x₀，使得f（x₀）=x₀与f′（x₀）=0同时成立，
则

x3+ 5 2 x2+(a-1)x+b=0 3x2+5x+a=0

即x³+

5

2

x²+（-3x²-5x-1）x+b=0存在唯一的实数根x₀，
故b=2x³+

5

2

x²+x存在唯一的实数根x₀，
令y=2x³+

5

2

x²+x，则y′=6x²+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=-

1

2

或x=-

1

3

，
则函数y=2x³+

5

2

x²+x在（-∞，-

1

2

），（-

1

3

，+∞）上是增函数，在（-

1

2

，-

1

3

）上是减函数，
由于x=-

1

2

时，y=-

1

8

；x=-

1

3

时，y=-

7

54

；
故实数b的取值范围为：（-∞，-

7

54

）∪（-

1

8

，+∞）；
（3）设点A（x₀，f（x₀）），则在点A处的切线l₁的切线方程为y-f（x₀）=f′（x₀）（x-x₀），
与曲线C联立得到f（x）-f（x₀）=f′（x₀）（x-x₀），
即（x³+

5

2

x²+ax+b）-（x₀³+

5

2

x₀²+ax₀+b）=（3x₀²+5x₀+a）（x-x₀），
整理得到（x-x₀）²[x+（2x₀+

5

2

）]=0，
故点B的横坐标为x_B=-（2x₀+

5

2

）
由题意知，切线l₁的斜率为k₁=f′（x₀）=3x₀²+5x₀+a，
l₂的斜率为k₂=f′（-（2x₀+

5

2

））=12x₀²+20x₀+

25

4

+a，
若存在常数λ，使得k₂=λk₁，则12x₀²+20x₀+

25

4

+a=λ（3x₀²+5x₀+a），
即存在常数λ，使得（4-λ）（3x₀²+5x₀）=（λ-1）a-

25

4

，
故

4-λ=0 (λ-1)a- 25 4 =0

，解得λ=4，a=

25

12

，
故a=

25

12

时，存在常数λ=4，使得k₂=4k₁；a≠

25

12

时，不存在常数，使得k₂=4k₁．

点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．