已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：对任意的0＜a＜b，

f(b)-f(a)

b-a

≤

1

a

-1．

如图，在三棱锥C-OAB中，CO⊥平面AOB，OA=OB=2OC=2，AB=2

2

，D为AB的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面COD；
（Ⅱ）若动点E满足CE∥平面AOB，问：当AE=BE时，平面ACE与平面AOB所成的锐二面角是否为定值？若是，求出该锐二面角的余弦值；若不是，说明理由．

已知点A（x，y）和点B（-4，y），以AB为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求点A的轨迹C的方程；
（2）过点P（4，0）的直线l交轨迹C于D，E两点，判断△DOE的形状，并证明你的结论．

设函数f（x）=x³-

3

2

ax²+a（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，2]上的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数a使得函数f（x）在区间（-1，2）上既存在最大值又存在最小值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔AB、CD与桥面AC垂直，通过测量得知AB=50m，AC=50m，当P为AC中点时，∠BPD=45°．
（1）求CD的长；
（2）试问P在线段AC的何处时，∠BPD达到最大．

求函数y=3-4sinx-4cos²x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值．

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（2^x）=2^x+1+1，定义数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=f（a_n）-1（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1，且

Sn+1

-

Sn

=1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=

bn

an

（n∈N⁺），求{c_n}的前n项和T_n；
（3）数列{a_n}中是否存在三项a_m，a_n，a_k（m＜n＜k，m，n，k∈N^*）使a_m，a_n，a_k成等差数列，若存在，求出m，n，k的值，若不存在，请说明理由．

如图长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形，E为BB₁延长线上的一点且满足

BB1

•

B1E

=1．
（Ⅰ）求证：D₁E⊥平面AD₁C；
（Ⅱ）当

B1E

BB1

为何值时，二面角E-AC-D₁的大小为

π

4

．

设函数f（x）=x²+bln（x+1）．
（1）若x=1时，函数f（x）取最小值，求实数b的值；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；
（3）若b=-1，证明对任意正整数n，不等式

n

k=1

f（

1

k

）＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

都成立．

已知函数f（x）=sin²x+

3

sinxsin（x+

π

2

），x∈R．
（1）求该函数的单调递减区间；
（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值所对应的x的集合．