Question

已知点A（x，y）和点B（-4，y），以AB为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求点A的轨迹C的方程；
（2）过点P（4，0）的直线l交轨迹C于D，E两点，判断△DOE的形状，并证明你的结论．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）以AB为直径的圆经过坐标原点O，则OA⊥OB，由此可求点A的轨迹C的方程；
（2）△DOE是直角三角形．设l：x=my+4，代入y²=4x，证明

OD

•

OE

=0，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，
∴OA⊥OB，
∴（x，y）•（-4，y）=0，
∴-4x+y²=0，
∴y²=4x；
（2）△DOE是直角三角形．
设l：x=my+4，代入y²=4x，可得y²-4my-16=0，
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则y₁+y₂=4my，y₁y₂=-16，
∴

OD

•

OE

=x₁x₂+y₁y₂=

y12y22

16

-16=0，
∴OD⊥OE，
∴△DOE是直角三角形．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．