Question

图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔AB、CD与桥面AC垂直，通过测量得知AB=50m，AC=50m，当P为AC中点时，∠BPD=45°．
（1）求CD的长；
（2）试问P在线段AC的何处时，∠BPD达到最大．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（1）设∠BPA=α，∠DPC=β，CD=h，则tanα=2，tanβ=

h

25

，利用∠BPD=45°，可求CD的长；
（2）设AP=x（0＜x＜50），则tanα=

50

x

，tanβ=

75

50-x

，可得tan∠BPD，换元，利用基本不等式，即可求出∠BPD最大，从而可得结论．

解答： 解：（1）设∠BPA=α，∠DPC=β，CD=h，则tanα=2，tanβ=

h

25

，
由题意得，tan(α+β)=

2+ h 25

1-2• h 25

=-1，解得CD=h=75．…（6分）
（2）设AP=x（0＜x＜50），则tanα=

50

x

，tanβ=

75

50-x

，
∴tan∠BPD=-tan(α+β)=-

50 x + 75 50-x

1- 50 x • 75 50-x

=

25(x+100)

x2-50x+50•75

，…（8分）
∵x²-50x+50•75＞0，∴tan∠BPD＞0，即∠BPD为锐角，
令t=x+100∈（100，150），则x=t-100，
∴tan∠BPD=

25t

(t-100)2-50(t-100)+50•75

=

25t

t2-250t+50•375

，
∴tan∠BPD=

25

t+ 50•375 t -250

≤

25

2 t• 50•375 t -250

=

1

2 30 -10

，…（12分）
当且仅当t=

50•375

t

即t=25

30

∈(100，150)，
∴AP=25

30

-100时，∠BPD最大．…（14分）

点评：本题考查解三角形的实际应用，考查和角的正切公式，考查基本不等式的运用，求出tan∠BPD是关键．