Question

如图，在三棱锥C-OAB中，CO⊥平面AOB，OA=OB=2OC=2，AB=2

2

，D为AB的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面COD；
（Ⅱ）若动点E满足CE∥平面AOB，问：当AE=BE时，平面ACE与平面AOB所成的锐二面角是否为定值？若是，求出该锐二面角的余弦值；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出CO⊥AB，DO⊥AB．由此能证明AB⊥平面COD．
（Ⅱ）以点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OC所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACE与平面AOB所成的锐二面角的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）在三棱锥C-OAB中，CO⊥平面AOB，
∴CO⊥AB．…（2分）
又OA=OB，D为AB的中点，
∴DO⊥AB．…（4分）
∵DO∩CO=O，
∴AB⊥平面COD．…（5分）
（Ⅱ）∵OA=OB=2，AB=2

2

，
∴AO⊥BO．…（5分）
由CO⊥平面AOB，故以点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OC所在的直线为z轴建立空间直角坐标系（如图），
由已知可得O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），D（1，1，0）．…（7分）
由CE∥平面AOB，故设E（x，y，1）．…（8分）
由AE=BE，得

(x-2)2+y2+12

=

x2+(y-2)2+12

，
故x=y，即E（x，y，1），（x≠0）．…（9分）
设平面ACE的法向量为

n1

=(a，b，c)，由

AC

=(-2，0，1)，

CE

=（x，y，0），
得

-2a+C=0 ax+bx=0

，令a=1，得

n1

=（1，-1，2）．…（11分）
又平面AOB的法向量为

n2

=(0，0，1)，…（12分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

2

1× 6

=

6

3

．
故平面ACE与平面AOB所成的锐二面角为定值，且该锐二面角的余弦值为

6

3

．…（13分）

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．