Question

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（2^x）=2^x+1+1，定义数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=f（a_n）-1（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1，且

Sn+1

-

Sn

=1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=

bn

an

（n∈N⁺），求{c_n}的前n项和T_n；
（3）数列{a_n}中是否存在三项a_m，a_n，a_k（m＜n＜k，m，n，k∈N^*）使a_m，a_n，a_k成等差数列，若存在，求出m，n，k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由f（2^x）=2^x+1+1求得函数f（x）的解析式，结合a_n+1=f（a_n）-1得到数列{a_n}的递推式，确定数列{a_n}为等比数列，求得其通项公式，再由

Sn+1

-

Sn

=1求出数列{b_n}的前n项和，进一步求得数列{b_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}和{b_n}的通项公式代入c_n=

bn

an

，利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）假设存在a_m，a_n，a_k（m＜n＜k，m，n，k∈N^*）使a_m，a_n，a_k成等差数列，由等差中项的概念得到2^n+1-m=1+2^k-m，该式不成立，说明假设错误．

解答： 解：（1）由f（2^x）=2^x+1+1，得
f（x）=2x+1，又a_n+1=f（a_n）-1，
得a_n+1=2a_n+1-1=2a_n，又a₁=1，
∴{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
故an=2n-1，
由b₁=1，

Sn+1

-

Sn

=1(n∈N*)，
可得{

Sn

}是已1为首项，1为公差的等差数列，
∴

Sn

=n，Sn=n2，
则b_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2），
当n=1时，b₁=1满足上式，
∴b_n=2n-1；
（2）由c_n=

bn

an

，an=2n-1，b_n=2n-1得
cn=

2n-1

2n-1

，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
即Tn=1+

3

2

+

5

22

+

7

23

+…+

2n-1

2n-1

  ①
两边同乘公比

1

2

得，

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+

7

24

+…+

2n-1

2n

  ②
①-②得(1-

1

2

)Tn=1+

2

2

+

2

22

+

2

23

+

2

24

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

，
化简得：Tn=6-

2n+3

2n-1

；
（3）假设存在a_m，a_n，a_k（m＜n＜k，m，n，k∈N^*）使a_m，a_n，a_k成等差数列，
则2a_n=a_m+a_k，
2•2^n-1=2^m-1+2^k-1，
两边同除2^m-1，得2^n+1-m=1+2^k-m，
∵2^n+1-m为偶数，而1+2^k-m为奇数，上面等式矛盾．
∴假设不成立，
故不存在任三项能构成等差数列．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法，训练了利用错位相减法求数列的和，体现了反证法解题思想，是中档题．