Question

已知函数f（x）=sin²x+

3

sinxsin（x+

π

2

），x∈R．
（1）求该函数的单调递减区间；
（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值所对应的x的集合．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式对函数解析式化简整理，然后利用三角函数的性质求得其递减区间．
（2）利用（1）中函数解析式，根据三角函数的性质求得其最大值和此时想的集合．

解答： 解：（1）f（x）=sin²x+

3

sinxsin（x+

π

2

）
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x
=sin（2x-

π

6

）+

1

2

∴当

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），时函数单调减，
即

2π

3

+kπ≤x≤

5π

3

+kπ（k∈Z），函数单调减，
∴函数的单调递减区间为[

2π

3

+kπ，

5π

3

+kπ]（k∈Z），
（2）∵f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

∴当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

3

时，函数有最大值，
最大值为1+

1

2

=

3

2

．

点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，三角函数图象和性质．考查了学生对基础知识的掌握．