已知实数a＞0，且2a，1，a²+3按某种顺序排列成等差数列．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若等差数列{a_n}的首项和公差都为a，等比数列{b_n}的首项和公比都为a，数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，且

Tn+2

2n

＞S_n-238，求满足条件的自然数n的最大值．

若复数（m²-3m）+（m²-5m+6）i（m∈R）是纯虚数，求m的值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点B（0，

3

）为短轴的一个端点，∠OF₂B=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，过右焦点F₂，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE、AF分别交直线x=3于点M、N，线段MN的中点为P，记直线PF₂的斜率为k′．求证：k•k′为定值．

如图，甲船以每小时15

2

海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A₁处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B₁处，此时两船相距20海里，当甲船航行40分钟到达A₂处时，乙船航行到甲船的南偏西45°方向的B₂处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？

求证：3+tan1°•tan2°+tan2°•tan3°=

tan3°

tan1°

．

已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的左右焦点分别为F₁，F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点，且点A（x₀，2）在抛物线上，|AF₂|=2．
（Ⅰ）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）如图点B位于椭圆短轴的下端点，M，N分别是椭圆和圆x²+y²=1位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BN斜率的2倍．证明：直线MN过定点并求出其坐标．

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

3

2

-

a

x

，（a为常数）
（1）若方程e^2f（x）=g（x）在区间[

1

2

，1]上有解，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，证明不等式g（x）＜f（x）＜x-2在[4，+∞）上恒成立；
（3）证明：

5n

4

+

1

60

＜

n

k=1

[2f(2k+1)-f(k+1)-f(k)]＜2n+1，（n∈N^*）（参考数据：ln2≈0.693）

已知sin（3π+α）=2sin（

3π

2

+α），求下列各式的值．
（1）

sinα-4cosα

5sinα+2cosα

；
（2）sin²α+sin2α．

一批救灾物资随26辆汽车从某市以xkm/h的速度匀速开往400km处的灾区．为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于（

x

20

）²km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？

已知f（x）=alnx-b（x-1）对任意的x＞0恒有f（x）≤0成立，
（1）求正数a与b的关系；
（2）若a=1，设g（x）=m

x

+n（m，n∈R），若lnx≤g（x）≤b（x-1）对任意x＞0恒成立，求函数g（x）的解析式；
（3）证明：n！＞e 2n-4

n

（n∈N，n≥2）