Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点B（0，

3

）为短轴的一个端点，∠OF₂B=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，过右焦点F₂，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE、AF分别交直线x=3于点M、N，线段MN的中点为P，记直线PF₂的斜率为k′．求证：k•k′为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出b=

3

，a=

3

sin60°

=2，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设过点F₂（1，0）的直线l方程为：y=k（x-1），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线PF2 的斜率k′=-

3

4k

．由此能证明k•k′为定值-

3

4

．

解答： 解：（Ⅰ）解：如图，∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，
点B（0，

3

）为短轴的一个端点，∠OF₂B=60°，
∴b=

3

，a=

b

sin∠OF2B

=

3

sin60°

=2，…
故所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…
（Ⅱ）证明：设过点F₂（1，0）的直线l方程为：y=k（x-1）．…
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，
得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，…
因为点F₂（1，0）在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，
即△＞0恒成立．
设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

．…
因为直线AE的方程为：y=

y1

x1-2

(x-2)，
直线AF的方程为：y=

y2

x2-2

(x-2)，…
令x=3，得M（3，

y1

x1-2

），N（3，

y2

x2-2

），
所以点P的坐标（3，

1

2

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

)）．…
直线PF2 的斜率为k′=

1 2 ( y1 x1-2 + y2 x2-2 )-0

3-1

=

1

4

（

y1

x1-2

+

y2

x2-2

）
=

1

4

•

x1y2+x2y1-2(y1+y2)

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

4

•

2kx1x2-3k(x1+x2)+4k

x1x2-2(x1+x2)+4

…
=

1

4

•

2k• 4k2-12 4k2+3 -3k• 8k2 4k2+3 +4k

4k2-12 4k2+3 -2• 8k2 4k2+3 +4

=-

3

4k

．
所以k•k′为定值-

3

4

．…

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率的乘积为定值的证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．