Question

已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的左右焦点分别为F₁，F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点，且点A（x₀，2）在抛物线上，|AF₂|=2．
（Ⅰ）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）如图点B位于椭圆短轴的下端点，M，N分别是椭圆和圆x²+y²=1位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BN斜率的2倍．证明：直线MN过定点并求出其坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件求出x0=2-

p

2

，将A(2-

p

2

，2)代入抛物线y²=2px（p＞0），求出抛物线方程为y²=4x，从而得到F₂（1，0），由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线BM：y=kx-1，直线BN：y=2kx-1，由已知条件推导出MN的方程为y=-

1

2k

x+1，由此能证明直线MN过定点（0，1）．

解答： （Ⅰ）解：∵点A（x₀，2）在抛物线y²=2px（p＞0）上，|AF₂|=2．
∴|AF2|=x0+

p

2

=2，解得x0=2-

p

2

，
将A(2-

p

2

，2)代入抛物线y²=2px（p＞0），
解得p=2，…（2分）
∴抛物线方程为y²=4x…（3分）
∵椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的左右焦点分别为F₁，F₂，
其中F₂也是抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点，
∴F₂（1，0），在椭圆中c=1，∴a²=2…（4分）
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1． …（6分）
（Ⅱ）证明：设BN的斜率为k，则直线BN的斜率为2k，
又两直线均过定点B（0，-1），
设直线BM：y=kx-1，直线BN：y=2kx-1…（7分）
由

y=kx-1 x2+2y2=2

，得方程（1+2k²）x²-4kx=0，
xM=

4k

2k2+1

，yM=

2k2-1

2k2+1

…（8分）
同理由

y=2kx-1 x2+y2=1

，得方程（1+4k²）x²-4kx=0，
xN=

4k

2k2+1

，yN=

4k2-1

2k2+1

．…（9分）
∴kMN=

yM-yN

xM-xN

=-

1

2k

…（11分）
∴MN的方程为y-

2k2-1

2k2+1

=-

1

2k

(x-

4k

2k2+1

)，
化简得：y=-

1

2k

x+1
∴直线MN过定点（0，1）…（13分）

点评：本题考查椭圆的抛物线方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．