Question

已知实数a＞0，且2a，1，a²+3按某种顺序排列成等差数列．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若等差数列{a_n}的首项和公差都为a，等比数列{b_n}的首项和公比都为a，数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，且

Tn+2

2n

＞S_n-238，求满足条件的自然数n的最大值．

Answer 1

考点：等差数列的性质,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）分类讨论，三项分别为等差中项，解方程可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a_n和b_n，进而可得S_n和T_n，代入已知可得n的不等式，解不等式结合n为自然数可得．

解答： 解（Ⅰ）①若2a为等差中项，则有4a=a²+4解得a=2，符合题意；
②若1为等差中项，则有2=2a+a²+3解得a=-1，不符合题意，（舍去）；
③若a²+3为等差中项，则有2（a²+3）=2a+1，即2a²-2a+5=0，△＜0方程无解；
综上可得a=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2+2（n-1）=2n，b_n=2ⁿ，
∴S_n=

n(2+2n)

2

=n²+n，T_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2，
由已知

Tn+2

2n

＞S_n-238可得2＞n²+n-238，即n（n+1）＜240，
即-16＜n＜15，又n为正整数，n的最大值为14．

点评：本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查分类整合的思想，属中档题．