Question

已知f（x）=alnx-b（x-1）对任意的x＞0恒有f（x）≤0成立，
（1）求正数a与b的关系；
（2）若a=1，设g（x）=m

x

+n（m，n∈R），若lnx≤g（x）≤b（x-1）对任意x＞0恒成立，求函数g（x）的解析式；
（3）证明：n！＞e 2n-4

n

（n∈N，n≥2）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据题意易判断函数在x=1处取得最大值，则f′（1）=0，从而可得正数a与b的关系为a=b；
（2）根据a=1，将不等式lnx≤g（x）≤b（x-1）化为lnx＜m

x

+n＜x-1，根据不等式的性质将不等式转化即可得到m=n=2，从而求出函数g（x）的解析式；
（3）根据（2）中结论lnx≤2（

x

-1）可得ln

1

k

≤

2

k

-2=

4

2 k

-2=4（

k

-

k-1

）-2，根据对数加法运算性质可得ln

1

n!

＜4[（

n

-

n-1

）+（

n-1

-

n-2

）+…+（

1

-

0

）]-2n=4

n

-2n．化简即可得到不等式n！＞e 2n-4

n

．

解答： 解：（1）∵f（x）=alnx-b（x-1），
∴f（1）=0．
又∵对任意的x＞0恒有f（x）≤0成立，
∴函数在x=1处取得最大值．
∵f′(x)=

a

x

-b=

a-bx

x

．
∴f′（1）=0．
∴a=b．
又∵a＞0，
∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意．
∴正数a与b的关系为a=b．
（2）∵a=1，
∴b=1．
∴不等式lnx≤g（x）≤b（x-1）可化为
lnx≤m

x

≤x-1．
令x=1，则0≤m+n≤0．
∴m+n=0．
∴m

x

-m≤x-1．
∴x-m

x

+m-1≥0
即(

x

-

m

2

)2-

m2

4

+m-1≥0对?x＞0恒成立．
∴-

m2

4

+m-1=-(

m

2

-1)2≥0，
∴m=2．
∴函数g（x）=2（

x

-1）．
（3）由（2）知，
ln

1

k

≤

2

k

-2=

4

2 k

-2=4（

k

-

k-1

）-2．
∴ln

1

n!

＜4[（

n

-

n-1

）+（

n-1

-

n-2

）+…+（

1

-

0

）]-2n=4

n

-2n．
即lnn!＞2n-4

n

（n∈N，n≥2）．
∴n!＞e 2n-4

n

（n∈N，n≥2）．

点评：本题考查导数在函数极值，最值中的应用，不等式性质的灵活应用，属于难题．