若定积分

∫

2a a

（2x+

1

x

）dx=3+ln2（a＞0），则a=．

设函数f（x）=x²-2x+2（其中x∈[t，t+1]，t∈R）的最小值为g（t），求g（t）的表达式．

已知sinβ+cosβ=

1

5

，β∈（0，π）
（1）求tanβ的值；
（2）求sin2β的值；
（3）你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？

设函数f（x）=|2x-1|，x∈R．
（1）若不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，求a的值；
（2）若g（x）=

1

f(x)+f(x+1)+m

的定义域为R，求实数m的取值范围．

设等差数列{a_n}满足a₂=9，且a₁，a₅是方程x²-16x+60=0的两根．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

求函数f（x）=

1

2

mx2+2x+mlnx的单调区间．

已知非负实数x、y、z满足x+y+z=3．
（1）求

2x+1

+

2y+1

+

2z+1

的最大值；
（2）求证：

x2

1+x4

+

y2

1+y4

+

z2

1+z4

≤

1

1+x

+

1

1+y

+

1

1+z

．

某同学的数学研究性学习课题是：在校内一块不规则土地OABC（测绘图如图所示）规划一个矩形运动场地．经过测量发现AB⊥BC，OA∥BC，曲线段OC可近似看作是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段，OA=20m，AB=BC=40m．
（1）该同学在测绘图上建立了以O为原点，直线AO为x轴的直角坐标系，请帮他计算曲线段OC对应的函数关系式；
（2）如果矩形运动场地BDEF的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点E落在曲线段OC上，该同学应如何规划才能使运动场地面积最大？

已知函数f（x）=（1-x）e^x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x≥0时，g（x）=e^x+λ1n（1-x）-1≤0，求λ的取值范围；
（Ⅲ）证明：

1

en+1

+

1

en+2

+

1

en+3

+…+

1

e2n

＜n+ln2（n∈N^*）．

设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{a_n}：a₁是自然数，a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）求f（99），f（2014）；
（Ⅱ）若a₁≥100，求证：a₁＞a₂；
（Ⅲ）求证：存在m∈N^*，使得a_m＜100．