Question

已知sinβ+cosβ=

1

5

，β∈（0，π）
（1）求tanβ的值；
（2）求sin2β的值；
（3）你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinβcosβ的值，进而求出sinβ-cosβ的值，联立求出sinβ与cosβ的值，即可确定出tanβ的值；
（2）原式利用二倍角的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（3）求出cos2β的值．

解答： 解：（1）将已知等式sinβ+cosβ=

1

5

①，两边平方得：（sinβ+cosβ）²=1+2sinβcosβ=

1

25

，即2sinβcosβ=-

24

25

＜0，
∴（sinβ-cosβ）²=1-2sinβcosβ=

49

25

，
∵β∈（0，π），
∴sinβ＞0，cosβ＜0，即sinβ-cosβ＞0，
∴sinβ-cosβ=

7

5

②，
联立①②得：sinβ=

4

5

，cosβ=-

3

5

，
则tanβ=

sinβ

cosβ

=-

4

3

；
（2）∵sinβ=

4

5

，cosβ=-

3

5

，
∴sin2β=2sinβcosβ=2×

4

5

×（-

3

5

）=-

24

25

；
（3）∵sinβ=

4

5

，cosβ=-

3

5

，
∴cos2β=cos²β-sin²β=

9

25

-

16

25

=-

7

25

．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．