题目内容
已知函数f（x）=（1-x）ex-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x≥0时，g（x）=ex+λ1n（1-x）-1≤0，求λ的取值范围；
（Ⅲ）证明：
+
+
+…+
＜n+ln2（n∈N*）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x≥0时，g（x）=ex+λ1n（1-x）-1≤0，求λ的取值范围；
（Ⅲ）证明：
| 1 |
| en+1 |
| 1 |
| en+2 |
| 1 |
| en+3 |
| 1 |
| e2n |
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）中求出函数的导数，讨论x的范围，找出单调区间求出最值；（Ⅱ）求出函数g（x）的导数，通过讨论g（x）的增减性得出λ的取值范围；（Ⅲ）将x的不同的值代入求出即可．
解答：
解；（Ⅰ）f′（x）=-xex，
x=0时，f′（x）=0，
x＜0时，f′（x）＞0，
x＞0时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减；
∴f（x）max=f（0）=0．
（Ⅱ）g′（x）=ex-
=
，
令h（x）=（1-x）ex-λ，
∴h′（x）=-xex，
x∈[0，1）时，h′（x）≤0，h（x）单调递减，
若在[0，1）内存在使h（x）=（1-x）ex-λ＞0的区间（0，x0），
则g（x）在（0，x0）上是增函数，g（x）＞g（0）=0，与已知不符；
故x∈[0，1）时，h（x）≤0，g（x）在[0，1）上是减函数，g（x）≤g（0）=0成立．
∴h（x）的最大值h（0）≤0，即（1-0）e0-λ≤0，∴λ≥1，
∴λ的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅲ）：在（Ⅱ）中令λ=1，
∴x＞0时，ex＜1-ln（1-x），
将x=
，
，…，
代入上述不等式，再将得到的n个不等式相加，
得：
+
+
+…+
＜n+ln2．
x=0时，f′（x）=0，
x＜0时，f′（x）＞0，
x＞0时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减；
∴f（x）max=f（0）=0．
（Ⅱ）g′（x）=ex-
| λ |
| 1-x |
| (1-x)ex-λ |
| 1-x |
令h（x）=（1-x）ex-λ，
∴h′（x）=-xex，
x∈[0，1）时，h′（x）≤0，h（x）单调递减，
若在[0，1）内存在使h（x）=（1-x）ex-λ＞0的区间（0，x0），
则g（x）在（0，x0）上是增函数，g（x）＞g（0）=0，与已知不符；
故x∈[0，1）时，h（x）≤0，g（x）在[0，1）上是减函数，g（x）≤g（0）=0成立．
∴h（x）的最大值h（0）≤0，即（1-0）e0-λ≤0，∴λ≥1，
∴λ的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅲ）：在（Ⅱ）中令λ=1，
∴x＞0时，ex＜1-ln（1-x），
将x=
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| 2n |
得：
| 1 |
| en+1 |
| 1 |
| en+2 |
| 1 |
| en+3 |
| 1 |
| e2n |
点评：本题考察了导数的应用，函数的单调性，函数的最值，渗透了分类讨论思想，有一定的难度．
练习册系列答案
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 |
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| ||||||||
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| ||||||||
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|
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A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|