Question

求函数f（x）=

1

2

mx2+2x+mlnx的单调区间．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：求导函数，对参数m进行讨论，即可确定函数f（x）的单调区间．

解答： 解：函数的定义域{x|x＞0}，f′（x）=mx+2+m•

1

x

=

mx2+2x+m

x

令f′（x）=0，即mx²+2x+m=0
（1）当m=0时，f′（x）＞0，则函数在定义域上为增函数；
（2）当△=4（1-m²）≤0，解得m≥1或m≤-1，
当m≥1时，f′（x）≥0，则函数在定义域上为增函数，
当m≤-1时，f′（x）≤0，则函数在定义域上为减函数；
（3）当0＜m＜1时，mx²+2x+m=0两根x₁，x₂（x₁＜x₂）为负数，所以函数在定义域上为增函数
当-1＜m＜0时，mx²+2x+m=0两根x₁，x₂（x₁＜x₂）异号
x₁=

-1+ 1-m2

m

＜0，x₂=

-1- 1-m2

m

＞0        
函数f（x）在（0，

-1- 1-m2

m

）上为增函数，在（

-1- 1-m2

m

，+∞）上为减函数．       
综上所述：当m≥0时，函数y=f（x） 的增区间为（0，+∞）；
当m≤-1时，函数y=f（x）的减区间（0，+∞）；
当-1＜m＜0时，函数的增区间为（0，

-1- 1-m2

m

），减区间为（

-1- 1-m2

m

，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调区间，属于中档题．