Question

设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{a_n}：a₁是自然数，a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）求f（99），f（2014）；
（Ⅱ）若a₁≥100，求证：a₁＞a₂；
（Ⅲ）求证：存在m∈N^*，使得a_m＜100．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：压轴题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用新定义，可求f（99），f（2014）；
（Ⅱ）假设a₁是一个n位数（n≥3），设出a₁，由a₂=f（a₁）可得，a2=bn2+bn-12+…+b32+b22+b12．作差，即可得证；
（Ⅲ）利用反证法进行证明即可．

解答： （Ⅰ）解：f（99）=9²+9²=162；f（2014）=2²+0²+1²+4²=21．                       
（Ⅱ）证明：假设a₁是一个n位数（n≥3），
那么可以设a1=bn•10n-1+bn-1•10n-2+…+b3•102+b2•10+b1，
其中0≤b_i≤9且b_i∈N（1≤i≤n），且b_n≠0．
由a₂=f（a₁）可得，a2=bn2+bn-12+…+b32+b22+b12．a1-a2=(10n-1-bn)bn+(10n-2-bn-1)bn-1+…+(102-b3)b3+(10-b2)b1+(1-b1)b1
=(10n-1-bn)bn+(10n-2-bn-1)bn-1+…+(102-b3)b3+(10-b2)b1+(1-b1)b1
所以a1-a2≥(10n-1-bn)bn-(b1-1)b1．
因为b_n≠0，所以（10^n-1-b_n）b_n≥99．
而（b₁-1）b₁≤72，
所以a₁-a₂＞0，即a₁＞a₂．                       
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知当a₁≥100时，a₁＞a₂．
同理当a_n≥100时，a_n＞a_n+1．
若不存在m∈N^*，使得a_m＜100．
则对任意的n∈N^*，有a_n≥100，总有a_n＞a_n+1．
则a_n≤a_n-1-1，可得a_n≤a₁-（n-1）．
取n=a₁，则a_n≤1，与a_n≥100矛盾．
存在m∈N^*，使得a_m＜100．

点评：本题考查数列的应用，考查新定义，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．