题目内容
某同学的数学研究性学习课题是：在校内一块不规则土地OABC（测绘图如图所示）规划一个矩形运动场地．经过测量发现AB⊥BC，OA∥BC，曲线段OC可近似看作是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段，OA=20m，AB=BC=40m．（1）该同学在测绘图上建立了以O为原点，直线AO为x轴的直角坐标系，请帮他计算曲线段OC对应的函数关系式；
（2）如果矩形运动场地BDEF的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点E落在曲线段OC上，该同学应如何规划才能使运动场地面积最大？
考点：抛物线的应用
专题：应用题
分析：（1）建立平面直角坐标系，设曲线段OC所在的抛物线方程，利用点C的坐标为（20，40），即可求出抛物线的方程；
（2）设矩形运动场在曲线段OC上的顶点（x，
x2），表示出矩形的面积S关于x的函数，利用求导即可求得使面积S最大时的x的值，则运动场地的长和宽可求．
（2）设矩形运动场在曲线段OC上的顶点（x，
| 1 |
| 10 |
解答：
解：（1）建立平面直角坐标系如图所示，设曲线段OC所在的抛物线方程为y=ax2（a＞0），
由已知得点C的坐标为（20，40），代入方程得：a=
．
∴抛物线的方程为y=
x2；
（2）设矩形运动场在曲线段OC上的顶点（x，
x2），则矩形面积：
S=(20+x)(40-
x2)=-
x3-2x2+40x+800（0≤x＜20），
∴S′=-
(x+20)(3x-20)，
令S′=0，可得x=-20或x=
．
∵0≤x＜20，∴x=
．
当0＜x＜
时，S′＞0；当x＞
时，S′＜0．
∴x=
是S的极大值点，也是最大值点．
答：当矩形的长为
m．宽为
m时，运动场地面积最大．
由已知得点C的坐标为（20，40），代入方程得：a=
| 1 |
| 10 |
∴抛物线的方程为y=
| 1 |
| 10 |
（2）设矩形运动场在曲线段OC上的顶点（x，
| 1 |
| 10 |
S=(20+x)(40-
| 1 |
| 10 |
| 1 |
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∴S′=-
| 1 |
| 10 |
令S′=0，可得x=-20或x=
| 20 |
| 3 |
∵0≤x＜20，∴x=
| 20 |
| 3 |
当0＜x＜
| 20 |
| 3 |
| 20 |
| 3 |
∴x=
| 20 |
| 3 |
答：当矩形的长为
| 80 |
| 3 |
| 320 |
| 9 |
点评：本题考查抛物线的应用，考查了数学建模思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
将一枚质地均匀的骰子抛掷一次出现“正面向上的点数为2或3”的概率是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
复数
等于（ ）
| 2i |
| 1+i3 |
| A、1-i | B、-1+i |
| C、1+i | D、-1-i |
抛物线y2=16x的焦点坐标是（ ）
| A、（4，0） |
| B、（0，4） |
| C、（8，0） |
| D、（0，8） |
为了保护生态和环境，某市不再完全以GDP考核辖区内各县政府的政绩，广大群众的幸福指数成为考核县政府政绩的又一个重要指标，从而成立了市政府幸福办公室，其主要工作是随机抽查群众的幸福指数，为市政府提供最基础的原始数据．该办公室某工作人员在一次随机抽查了10名A县群众后，绘制了如图的茎叶图．
执行如图所示的程序框图，分别输入a2、a+2，相应地输出y1，y2，若y1＞y2，则实数a的取值范围为