已知命题p：“函数y=f（x）的图象关于点P（a、b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”．
（1）试判断命题p的真假？并说明理由；
（2）设函数g（x）=x³-3x²，求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（3）试判断“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）-b是偶函数”是“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”成立的什么条件？请说明理由．

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF=AE，求证：
（Ⅰ）BF是⊙O的切线；
（Ⅱ）BE²=AE•DF．

（理）在等比数列{a_n}中，a₁＞0，n∈N^*，且a₅-a₄=8，又a₂、a₈的等比中项为16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₄a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，是否存在正整数k，使得

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＞k对任意n＞1且n∈N^*恒成立．若存在，求出正整数k的值或范围；若不存在，请说明理由．

已知定义域为R的函数f（x）=

a-2x

2x+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（k-2t²）＞0恒成立，求k的范围．

销售甲、乙两种商品所得利润分别为P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金m（单位：万元）的关系有经验公式P=

1

5

m，P=

1

5

m，Q=

3

5

m

．今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（单位：万元）
（1）试建立总利润y（单位：万元）关于x的函数关系式，并指明函数定义域；
（2）如何投资经营甲、乙两种商品，才能使得总利润最大．

已知函数f（x）=2sinx+2

3

cosx，（x∈R）
①求函数f（x）的最大值和最小值；
②求f（x）的单调递区间．

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-n（其中n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

log2(an+1)

2n

，且T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求T_n．

已知f（x）=xsinx+cosx+x²（x∈R）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）解不等式（文）f（x）＜f（2）；     
（理）f（log_0.5x）＜f（2）

已知函数f（x）=sinx-xcosx的导函数为f′（x）．
（1）求证：f（x）在（0，π）上为增函数；
（2）若存在x∈（0，π），使得f′（x）＞

1

2

x²+λx成立，求实数λ的取值范围；
（3）设F（x）=f′（x）+2cosx，曲线y=F（x）上存在不同的三点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），x₁＜x₂＜x₃，且x₁，x₂，x₃∈（0，π），比较直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小，并证明．

现有0，1，2，3，4，5六个数字．
（1）用所给数字能够组成多少个四位数？
（2）用所给数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？
（3）用所给数字可以组成多少个没有重复数字且比3142大的数？（最后结果均用数字作答）