题目内容
已知f（x）=xsinx+cosx+x2（x∈R）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）解不等式（文）f（x）＜f（2）；
（理）f（log0.5x）＜f（2）
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）解不等式（文）f（x）＜f（2）；
（理）f（log0.5x）＜f（2）
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象
专题：导数的概念及应用
分析：（Ⅰ）先对函数进行求导，然后根据导函数大于0和小于0判断函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中函数的单调性，对x大于0和小于0进行分类讨论，解不等式求得解集．
（理）根据（Ⅰ）中函数的单调性，对log0.5x大于0和小于0进行分类讨论，利用单调性解不等式，求得解集．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中函数的单调性，对x大于0和小于0进行分类讨论，解不等式求得解集．
（理）根据（Ⅰ）中函数的单调性，对log0.5x大于0和小于0进行分类讨论，利用单调性解不等式，求得解集．
解答：
解：（Ⅰ）f′（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx），
∵2+cosx＞0，
∴f′（x）=0的解为x=0，
∴x＞0时，f′（x）＞0，x＜0，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）内单调减，在（0，+∞）内单调增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在（0，+∞）上单调增，
①当x＞0时，原不等式等价于
，解得0＜x＜2，
②当x=0时，原不等式成立，
③当x＜0时，
∵f（-x）=f（x），
∴f（x）在R上为偶函数，
∴原不等式等价于
，
∴0＜-x＜2
∴-2＜x＜0…．
综上所述，原不等式的解集为（-2，2）；
（理科）由（1）得f（x）在（0，+∞）内单调递增，
①当log0.5x＞0时，原不等式等价于
，解得
＜x＜1；
②当log0.5x=0，x=1时，原不等式成立；
当log0.5x＜0时，
∵f（-x）=f（x）
∴f（x）在R上为偶函数，
∴f（log0.5x）=f（-log0.5x），原不等式即f（-log0.5x）＜f（2）
∴当log0.5x＜0时，-log0.5x＞0原不等式等价于
，
解得1＜x＜4．
综上所述，原不等式的解集为解得（
，4）．
∵2+cosx＞0，
∴f′（x）=0的解为x=0，
∴x＞0时，f′（x）＞0，x＜0，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）内单调减，在（0，+∞）内单调增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在（0，+∞）上单调增，
①当x＞0时，原不等式等价于
|
②当x=0时，原不等式成立，
③当x＜0时，
∵f（-x）=f（x），
∴f（x）在R上为偶函数，
∴原不等式等价于
|
∴0＜-x＜2
∴-2＜x＜0…．
综上所述，原不等式的解集为（-2，2）；
（理科）由（1）得f（x）在（0，+∞）内单调递增，
①当log0.5x＞0时，原不等式等价于
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②当log0.5x=0，x=1时，原不等式成立；
当log0.5x＜0时，
∵f（-x）=f（x）
∴f（x）在R上为偶函数，
∴f（log0.5x）=f（-log0.5x），原不等式即f（-log0.5x）＜f（2）
∴当log0.5x＜0时，-log0.5x＞0原不等式等价于
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解得1＜x＜4．
综上所述，原不等式的解集为解得（
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点评：本题主要考查了利用导函数求函数单调性，解不等式，对数函数性质等问题．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．
练习册系列答案
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