Question

已知定义域为R的函数f（x）=

a-2x

2x+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（k-2t²）＞0恒成立，求k的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数是奇函数，建立条件关系即可求a的值；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式不等式f（t²-2t）+f（k-2t²）＞0进行转化即可，求k的范围．

解答： 解：（1）∵定义域为R的函数f（x）=

a-2x

2x+1

是奇函数．
∴f（0）=0，即f（0）=

a-1

2

=0，解得a=1，
即f（x）=

1-2x

2x+1

．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1-2x1

2x1+1

-

1-2x2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，即2x2-2x1＞0，
即f（x₁）-f（x₂）=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）∵f（x）是奇函数，
∴不等式f（t²-2t）+f（k-2t²）＞0恒成立等价为f（t²-2t）＞-f（k-2t²）=f（2t²-k）恒成立，
∵f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
∴t²-2t＜2t²-k，
即k＜t²+2t，
∵t²+2t=（t+1）²-1≥-1，
∴k＜-1．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，利用函数的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．