Question

销售甲、乙两种商品所得利润分别为P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金m（单位：万元）的关系有经验公式P=

1

5

m，P=

1

5

m，Q=

3

5

m

．今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（单位：万元）
（1）试建立总利润y（单位：万元）关于x的函数关系式，并指明函数定义域；
（2）如何投资经营甲、乙两种商品，才能使得总利润最大．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）根据题意，对甲种商品投资x（万元），对乙种商品投资（3-x）（万元），利用经验公式P=

1

5

m，Q=

3

5

m

，可求经营甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；
（2）利用配方法，可求总利润y的最大值．

解答： 解：（1）根据题意，对甲种商品投资x（万元），对乙种商品投资（3-x）（万元）．
所以y=

1

5

x+

3

5

3-x

-----------------------（4分）
其定义域为[0，3]-----------------------（6分）
（2）令t=

3-x

，
因为x∈[0，3]，
所以t∈[0，

3

]，有y=

1

5

x+

3

5

3-x

=-

1

5

t2+

3

5

t+

3

5

-------（10分）
=-

1

5

(t-

3

2

)2+

21

20

-----------------（12分）
所以当t=

3

2

∈[0，

3

]时，即x=

3

4

时，ymax=

21

20

--------------（14分）
答：当甲商品投入

3

4

万元，乙商品投入

9

4

万元时，总利润最大为

21

20

万元．---------（16分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，正确建立函数解析式是关键．