Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-n（其中n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

log2(an+1)

2n

，且T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于S_n=2a_n-n，n∈N^*总成立，可得出S_n+1=2a_n+1-（n+1），此两式作差，即可整理出等比数列的形式，证明结论；
（2）先由已知求出b_n的通项公式，根据其形式选择错位相减法求和．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-n，n∈N^*．①
∴S_n+1=2a_n+1-（n+1），②
②-①得a_n+1=2a_n+1，整理得a_n+1+1=2（a_n+1）．
又S₁=2a₁-1，得a₁=1
故{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1，
（2）b_n=

log2(an+1)

2n

=

n

2n

．
所以T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

    ③

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

   ④
③-④得

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

∴T_n=2-

n+2

2n

点评：本题考查等比关系的确定及错位相减法求和，是数列大型考试中热门题型，尤其是错位相减法，要理解其过程及原理，目的．