设函数f（x）=alnx+

1-a

2

x²-bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
（1）求b；
（2）若存在x₀≥1，使得f（x₀）＜

a

a-1

，求a的取值范围．

已知点P（2，2），圆C：x²+y²-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=

4

3

．
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

某车间20名工人年龄数据如下表：

年龄（岁）	工人数（人）
19	1
28	3
29	3
30	5
31	4
32	3
40	1
合计	20

（1）求这20名工人年龄的众数与极差；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
（3）求这20名工人年龄的方差．

已知直线l的参数方程为

x=a-2t y=-4t

（t为参数），圆C的参数方程为

x=4cosθ y=4sinθ

（θ为常数）．
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

已知等差数列{a_n}的公差为2，前n项和为S_n，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）^n-1

4n

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

3n2-n

2

，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N^*，使得a₁，a_n，a_m成等比数列．

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．
（Ⅰ）若a=2，b=

5

2

，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos²

B

2

+sinBcos²

A

2

=2sinC，且△ABC的面积S=

9

2

sinC，求a和b的值．

乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为

1

2

，在D上的概率为

1

3

；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为

1

5

，在D上的概率为

3

5

．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：
（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．

如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（　　）