Question

设函数f（x）=alnx+

1-a

2

x²-bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
（1）求b；
（2）若存在x₀≥1，使得f（x₀）＜

a

a-1

，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的几何意义即可得出；
（2）对a分类讨论：当a≤

1

2

时，当

1

2

＜a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

x

+(1-a)x-b（x＞0），
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
∴f′（1）=a+（1-a）×1-b=0，解得b=1．

（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+

1-a

2

x2-x，
∴f′(x)=

a

x

+(1-a)x-1=

(1-a)

x

(x-

a

1-a

)(x-1)．
①当a≤

1

2

时，则

a

1-a

≤1，
则当x＞1时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴存在x₀≥1，使得f（x₀）＜

a

a-1

的充要条件是f(1)＜

a

a-1

，即

1-a

2

-1＜

a

a-1

，
解得-

2

-1＜a＜

2

-1；
②当

1

2

＜a＜1时，则

a

1-a

＞1，
则当x∈(1，

a

1-a

)时，f′（x）＜0，函数f（x）在(1，

a

1-a

)上单调递减；
当x∈(

a

1-a

，+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）在(

a

1-a

，+∞)上单调递增．
∴存在x₀≥1，使得f（x₀）＜

a

a-1

的充要条件是f(

a

1-a

)＜

a

a-1

，
而f(

a

1-a

)=aln

a

1-a

+

a2

2(1-a)

+

a

a-1

＞

a

a-1

，不符合题意，应舍去．
③若a＞1时，f（1）=

1-a

2

-1=

-a-1

2

＜

a

a-1

，成立．
综上可得：a的取值范围是(-

2

-1，

2

-1)∪(1，+∞)．

点评：本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．