题目内容
已知点P（2，2），圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
考点：轨迹方程,三角形的面积公式
专题：直线与圆
分析：（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由
与
数量积等于0列式得M的轨迹方程；
（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．
| CM |
| MP |
（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．
解答：
解：（1）由圆C：x2+y2-8y=0，得x2+（y-4）2=16，
∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．
设M（x，y），则
=(x，y-4)，
=(2-x，2-y)．
由题意可得：
•
=0．
即x（2-x）+（y-4）（2-y）=0．
整理得：（x-1）2+（y-3）2=2．
∴M的轨迹方程是（x-1）2+（y-3）2=2．
（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，
为半径的圆，
由于|OP|=|OM|，
故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，
从而ON⊥PM．
∵kON=3，
∴直线l的斜率为-
．
∴直线PM的方程为y-2=-
(x-2)，即x+3y-8=0．
则O到直线l的距离为
=
．
又N到l的距离为
=
，
∴|PM|=2
=
．
∴S△POM=
×
×
=
．
∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．
设M（x，y），则
| CM |
| MP |
由题意可得：
| CM |
| MP |
即x（2-x）+（y-4）（2-y）=0．
整理得：（x-1）2+（y-3）2=2．
∴M的轨迹方程是（x-1）2+（y-3）2=2．
（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，
| 2 |
由于|OP|=|OM|，
故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，
从而ON⊥PM．
∵kON=3，
∴直线l的斜率为-
| 1 |
| 3 |
∴直线PM的方程为y-2=-
| 1 |
| 3 |
则O到直线l的距离为
| |-8| | ||
|
4
| ||
| 5 |
又N到l的距离为
| |1×1+3×3-8| | ||
|
| ||
| 5 |
∴|PM|=2
2-(
|
4
| ||
| 5 |
∴S△POM=
| 1 |
| 2 |
4
| ||
| 5 |
4
| ||
| 5 |
| 16 |
| 5 |
点评：本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．
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