已知正三角形ABC内接于半径为R的圆O．
（1）若在线段AB上任取一点D，求线段AD、DB的长都不小于

1

2

R的概率；
（2）若随机地向圆内丢一粒豆子，假设豆子落在圆内任一点是等可能的，求豆子落入正三角形ABC内的概率．

设F₁，F₂为椭圆

x2

36

+

y2

16

=1的两个焦点，P是椭圆上一点，已知P，F₁，F₂是一个直角三角形的三个顶点，且|

PF1

|＞|

PF2

|．
（1）求|PF₁|的长度；
（2）求

|PF1|

|PF2|

的值．

已知函数f（x）=x+

a

x

，x∈[1，+∞），a＞0．
（1）当a=

1

2

时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）的最小值为4，求实数a．

设f（x）=a（lnx）²-lnx-2．
（1）若f（e）=-2，求x的值；
（2）若x∈[

e

，e]时f（x）＜0，求a的取值范围．

已知点P（a，b），先对它作矩阵M=

1 2   - 3 2 3 2    1 2

对应的变换，再作N=

2  0 0  2

对应的变换，得到的点的坐标为（8，4

3

），求实数a，b的值．

某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40人；但从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10人．
（Ⅰ）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
（Ⅱ）该地区9月份（共30天）该病毒新感染者共有多少人？

（1）已知集合A={x|x²-x-6＞0}，B={x|0＜x+a＜4}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围；
（2）已知f（x）=-3x²+a（7-a）x+b．当不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）时，求实数a，b．

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点F₁（-2，0），右焦点到直线l：x=

a2

a2-b2

的距离为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M为直线l上一点，A为椭圆C的左顶点，连结AM交椭圆于点P，求

|PM|

|AP|

的取值范围；
（3）设椭圆C另一个焦点为F₂，在椭圆上是否存在一点T，使得

1

|TF1|

，

1

|F1F2|

，

1

|TF2|

 成等差数列？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，离心率e=

2

2

，过F₁F₂分别作直线l₁，l₂且l₁⊥l₂，l₁，l₂分别交直线l：x=

2

a于M，N两点．
（Ⅰ）若|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，求椭圆的方程；
（Ⅱ）当|

MN

|取最小值时，试探究|

F1M

|+|

F2N

|与

F1F2

的关系．

如图，正方形的边长为a，求阴影部分的面积．