Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，离心率e=

2

2

，过F₁F₂分别作直线l₁，l₂且l₁⊥l₂，l₁，l₂分别交直线l：x=

2

a于M，N两点．
（Ⅰ）若|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，求椭圆的方程；
（Ⅱ）当|

MN

|取最小值时，试探究|

F1M

|+|

F2N

|与

F1F2

的关系．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设M（

2

a，y₁），N（

2

a，y₂），由l₁⊥l₂，得y1y2=-

3

2

a2＜0，|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，得

( 3 2 2 a)2+y12

=2

5

，

( 2 2 a)2+y22

=2

5

，由此能求出椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）|MN|²=（y₁-y₂）²≥6a²，当且仅当y1=-y2=

6

2

a或y2=-y1=

6

2

a时，|MN|取最小值

6

2

a，由此能求出|

F1M

|+|

F2N

|与

F1F2

共线．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，
离心率e=

2

2

，过F₁F₂分别作直线l₁，l₂且l₁⊥l₂，
l₁，l₂分别交直线l：x=

2

a于M，N两点，
∴

a2-b2=c2 c a = 2 2

，解得a²=2b²，b=c，
∴F1(-

2

2

a，0)，F2(

2

2

a，0)，
设M（

2

a，y₁），N（

2

a，y₂），则

F1M

=(

3 2

2

a，y1)，

F2N

=(

2

2

a，y2)，
由l₁⊥l₂，得

F1M

•

F2N

=0，∴y1y2=-

3

2

a2＜0，①
∵|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，
∴

( 3 2 2 a)2+y12

=2

5

，②，

( 2 2 a)2+y22

=2

5

，③
由①②③三式，消去y₁，y₂，解得a²=4，b=

2

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）证明：|MN|²=（y₁-y₂）²=y12+y22-2y₁y₂
≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=6a²，
当且仅当y1=-y2=

6

2

a或y2=-y1=

6

2

a时，
|MN|取最小值

6

2

a，
此时

F1M

+

F2N

=（

3 2

2

a，y1）+（

2

2

a，y2）=（2

2

a，y₁+y₂）=（2

2

a，0）=2

F1F2

，
∴|

F1M

|+|

F2N

|与

F1F2

共线．

点评：本题重点考查椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量的综合应用；熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用．