Question

已知函数f（x）=x+

a

x

，x∈[1，+∞），a＞0．
（1）当a=

1

2

时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）的最小值为4，求实数a．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）利用导数研究函数f（x）的单调性即可得出；
（2）通过对a分类讨论，利用导数研究函数f（x）的单调性即可得出．

解答： 解（1）a=

1

2

时，f（x）=x+

1

2x

，x∈[1，+∞），
∴f′(x)=1-

1

2x2

=

( 2 x+1)( 2 x-1)

2x2

，
当x≥1时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在x∈[1，+∞）单调递增，
∴当x=1时，函数f（x）取得最小值f（1），且f（1）=1+

1

2

=

3

2

．
（2）f′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

=

(x+ a )(x- a )

x2

，
①当a＞1时，
当x＞

a

时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当1＜x＜

a

时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=

a

时，函数f（x）取得极小值即最小值f(

a

)=

a

+

a

a

=2

a

=4，解得a=4＞1，因此a=4适合．
②当0＜a≤1时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，f（x）取得最小值，f（1）=1+a=4，解得a=3＞1，不满足条件，应舍去．
综上可得：a=4．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．