Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点F₁（-2，0），右焦点到直线l：x=

a2

a2-b2

的距离为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M为直线l上一点，A为椭圆C的左顶点，连结AM交椭圆于点P，求

|PM|

|AP|

的取值范围；
（3）设椭圆C另一个焦点为F₂，在椭圆上是否存在一点T，使得

1

|TF1|

，

1

|F1F2|

，

1

|TF2|

 成等差数列？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出c=2，

a2

c

=6+2，由此能求出椭圆方程．
（2）设P点横坐标为x₀，由已知条件推导出

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1≥

1

2

，由此能求出

PM

AP

的取值范围．
（3）由已知条件推导出|TF₁|•|TF₂|=16，结合|TF₁|+|TF₂|=8，得|TF₁|=|TF₂|=4．由此能求出存在T（0，2

3

）或T（0，-2

3

）满足题意．

解答： （本题满分14分）
解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点F₁（-2，0），
右焦点到直线l：x=

a2

a2-b2

的距离为6，
∴c=2，

a2

c

=6+2，
解得a²=16，b2 =12，
∴所求椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1．…（4分）
（2）设P点横坐标为x₀，
则

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，
∵-4＜x₀≤4，∴

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1≥

1

2

，
∴

PM

AP

的取值范围是[

1

2

，+∞）．…（9分）
（3）|F₁F₂|=2c=4，|TF₁|+|TF₂|=2a=8，…（10分）

1

|TF1|

，

1

|F1F2|

，

1

|TF2|

成等差数列，
即

2

|F1F2|

=

1

|TF1|

+

1

|TF2|

，可化为：

|F1F2|

2

=

|TF1|•|TF2|

|TF1|+|TF2|

，
∴|TF₁|•|TF₂|=16，结合|TF₁|+|TF₂|=8，
解得：|TF₁|=|TF₂|=4．…（12分）
由对称性知T只能是短轴端点（0，2

3

），（0，-2

3

），
经验证此时满足|TF₁|=|TF₂|=4．
∴存在T（0，2

3

）或T（0，-2

3

）满足题意．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两条线段的比值的取值范围的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等差数列知识的合理运用．