设函数f（x）=alnx+

1

x

-a，（a∈R）．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）在（1）中，若函数f（x）的最小值恒小于e^k+1，求实数k的取值范围；
（3）当a＜0时，设x₁＞0，x₂＞0，且x₁≠x₂，试比较f（

x1+x2

2

）与

f(x1)+f(x2)

2

的大小．

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ABB₁和BCC₁B₁是两个全等的正方形，AC₁⊥平面A₁DB，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁DB；
（2）求证：平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁
（3）（理）设E是CC₁上一点，试确定点E的位置，使平面A₁DB⊥平面BDE，并说明理由．

如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧（左）视图、俯视图，侧（左）视图是底边长分别为2和4的直角梯形，俯视图是直角边长为2的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求出该几何体的体积；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直线CE与平面BDE的夹角正弦值．

已知复数z₁=a-4i，z₂=8+6i，

z1

z2

为纯虚数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求复数z₁的平方根．

已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A-BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．

（1）求证：M、N、P、Q四点共面；
（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（3）求异面直线BE与MQ所成的角．

已知在△ABC中，∠B=45°，AC=

10

，cosC=

2 5

5

．
（1）求AB
（2）求sinA和BC的值．

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，O是AC，BD的交点，PA=PC，PB=PD，E是PC上一点．求证：
（1）PO⊥AB；
（2）平面PAC⊥平面BDE．

已知A为锐角sinA=

3

5

，tan（A-B）=-

1

2

，
（1）求tanA及cos2A的值  
（2）求tanB的值．

已知函数f（x）=lgkx，g（x）=lg（x+1）．
（Ⅰ）当k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=2g（x）仅有一个实根，求实数k的取值集合．

已知向量

a

，

b

满足|

a

|=2，|

b

|=1，且

a

与

b

的夹角为

π

3

．
（1）若向量

a

+k

b

与

a

-k

b

相互垂直，求实数k的值；
（2）是否存在实数λ，使向量2λ

a

+7

b

与向量

a

+λ

b

的夹角为钝角？若存在，求出实数λ的取值范围，若不存在，说明理由．