Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，O是AC，BD的交点，PA=PC，PB=PD，E是PC上一点．求证：
（1）PO⊥AB；
（2）平面PAC⊥平面BDE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证明PO⊥AB，只要证明PO⊥底面ABCD，只要证明PO⊥AC，PO⊥BD，根据已知条件即可求证；
（2）要证明平面PAC⊥平面BDE，只要证明BD⊥平面PAC，根据菱形的性质可以得出．

解答： 证明：（1）∵PA=PC，PB=PD，
∴PO⊥AC，PO⊥BD，
∵AC∩BD=O，
∴PO⊥底面ABCD，
∵AB?平面ABCD，
∴PO⊥AB；
（2）∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又PO⊥BD，PO∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC，
又∵BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．

点评：本题主要考查了线线垂直与线面垂直，面面的垂直的关系，关键是找出它们之间的转化关系，属于基础题．