Question

已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A-BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．

（1）求证：M、N、P、Q四点共面；
（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（3）求异面直线BE与MQ所成的角．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,空间图形的公理,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）要证四点共线，只需找到一个平面，是这四个点在这个平面内，用确定平面的方法，两条平行线确定一个平面，即可证出；
（2）要证明两个平面垂直，只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，也就是只需证线面垂直即可，而要证线面垂直，只需证明这条直线垂直平面内的两条相交直线，这样，一步步寻找成立的条件．
（3）求异面直线所成角，先平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角或其补角，再放入三角形中计算即可．

解答： （1）证明：由条件有PQ为△ADE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线，
∴PQ∥DE，MN∥DE，
∴PQ∥MN
∴M、N、P、Q四点共面．…（3分）
（2）证明：由等腰直角三角形ABC有AD⊥DE，CD⊥DE，DE∥BC
又AD∩CD=D，
∴DE⊥面ACD，
又DE∥BC
∴BC⊥平面ACD，
∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD…（6分）
（3）解：由条件知AD=1，DC=1，BC=2，
延长ED到R，使DR=ED，连结RC    …（8分）
则ER=BC，ER∥BC，故BCRE为平行四边形 …（10分）
∴RC∥EB，又AC∥QM
∴∠ACR为异面直线BE与QM所成的角θ（或θ的补角）…（11分）
∵DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，
∴由勾股定理得AC=AR=RC=

2

，…（12分）
∵△ACR为正三角形，
∴∠ACR=60°，
∴异面直线BE与QM所成的角大小为60°．…（13分）

点评：本题考查了平面垂直，四点共线，以及异面直线所成角的求法，是立体几何中的常规题，应当掌握．