题目内容
已知复数z1=a-4i，z2=8+6i，
为纯虚数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求复数z1的平方根．
| z1 |
| z2 |
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求复数z1的平方根．
考点：复数代数形式的乘除运算
专题：数系的扩充和复数
分析：（Ⅰ）由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求得
=
为纯虚数，由此求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得复数z1=3-4i，设z1的平方根为a+bi，a、b∈R，则3-4i=a2-b2+2abi，利用两个复数相等的充要条件，求出a、b的值，可得z1的平方根．
| z1 |
| z2 |
| 8a-24-(32+6a)i |
| 100 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得复数z1=3-4i，设z1的平方根为a+bi，a、b∈R，则3-4i=a2-b2+2abi，利用两个复数相等的充要条件，求出a、b的值，可得z1的平方根．
解答：
解：（Ⅰ）∵复数z1=a-4i，z2=8+6i，
=
=
=
为纯虚数，
∴8a-24=0，且 32+6a≠0，∴a=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得复数z1=a-4i=3-4i，设z1的平方根为a+bi，a、b∈R，
则3-4i=a2-b2+2abi，∴a2-b2=3，2ab=-4．
解得
，或
，
∴z1的平方根为2-i，或-2+i．
| z1 |
| z2 |
| a-4i |
| 8+6i |
| (a-4i)(8-6i) |
| (8+6i)(8-6i) |
| 8a-24-(32+6a)i |
| 100 |
∴8a-24=0，且 32+6a≠0，∴a=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得复数z1=a-4i=3-4i，设z1的平方根为a+bi，a、b∈R，
则3-4i=a2-b2+2abi，∴a2-b2=3，2ab=-4．
解得
|
|
∴z1的平方根为2-i，或-2+i．
点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求一个复数的平方根，两个复数相等的充要条件，属于及撤退．
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