己知函数f（x）=x²e^x，求f（x）的极小值和极大值．

数列{a_n}的前n项和为S_n，存在常数A，B，C，使得a_n+S_n=An²+Bn+C对任意正整数n都成立．
（1）若数列{a_n}为等差数列，求证：3A-B+C=0；
（2）若A=-

1

2

，B=-

3

2

，C=1，设b_n=a_n+n，数列{nb_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）若C=0，{a_n}是首项为1的等差数列，设c_n=

1+ 2 an2 + 1 an+12

数列{c_n}的前2014项和为P，求不超过P的最大整数的值．

已知直线l的方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

，圆C的方程为

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数）．
（1）把直线l和圆C的方程化为普通方程；
（2）求圆C上的点到直线l距离的最大值．

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x．
（1）若a=3，求f（x）的增区间；
（2）若a＜0，且函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（3）若a=-

1

2

且关于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．
（1）若函数f（x）在区间（m，m+

1

3

）（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f（x）≥

t

x+1

恒成立，求实数t的取值范围；
（3）求证：

n

i=1

ln[i•（i+1）]＞n-2（n∈N^*）．

设数列是{a_n}公差大于0的等差数列，a₁=2，a₃=a₂²-10．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

长为3a的线段的端点分别在x、y轴上滑动，M为AB的一个三等分点，则M的轨迹方程是．

已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

，若0＜α＜

π

2

，且sinα=

2

2

，求f（α）的值．

已知函数f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（1）当y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y=x+ln2时，求a的值．
（2）当y=f（x）的单调递增区间是（1，5）时，求a的取值集合．

已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1时有极值0，求常数a，b的值．