Question

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x．
（1）若a=3，求f（x）的增区间；
（2）若a＜0，且函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（3）若a=-

1

2

且关于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）在定义域内解不等式f′（x）＞0即可；
（2）由函数f（x）存在单调递减区间，知f′（x）＜0在（0，+∞）上有解，分离参数化为函数最值即可；
（3）f（x）=-

1

2

x+b化为b=lnx+

1

4

x2-

3

2

x，令g（x）=lnx+

1

4

x2-

3

2

x（1≤x≤4），利用导数求得g（x）的最值，借助图象可得结果；

解答： 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
a=3时，f′（x）=

1

x

-3x-2=

-(3x-1)(x+1)

x

，
令f′（x）＞0，得0＜x＜

1

3

，
∴函数f（x）的增区间是（0，

1

3

]．
（2）f′（x）=

1

x

-ax-2，
由函数f（x）存在单调递减区间，知f′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
∴

1

x

-ax-2＜0，即a＞

1

x2

-

2

x

，
而

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1≥-1，
∴a＞-1，又a＜0，
∴-1＜a＜0．
（3）a=-

1

2

时，f（x）=lnx+

1

4

x²-2x，则f（x）=-

1

2

x+b即为b=lnx+

1

4

x2-

3

2

x，
令g（x）=lnx+

1

4

x2-

3

2

x（1≤x≤4），则g′（x）=

1

x

+

1

2

x-

3

2

=

(x-1)(x-2)

2x

，
当1＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减；当2＜x＜4时，g′（x）＞0，g（x）递增．
∴g（x）_min=g（2）=ln2-2，
又g（1）=-

5

4

，g（4）=ln4-2，g（1）＜g（4），
∴ln2-2＜b≤-

5

4

，即实数b的取值范围是ln2-2＜b≤-

5

4

．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查方程的根，考查函数与方程思想、数形结合思想，属中档题．