Question

已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1时有极值0，求常数a，b的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：先求出函数的导数，列出方程组解出a，b的值，再通过讨论从而确定a，b的值．

解答： 解：∵f（x）在x=-1时有极值0，
且f′（x）=3x²+6ax+b，
∴

f′(-1)=0 f(-1)=0

，即

3-6a+b=0 -1+3a-b+a2=0

，
解得：

a=1 b=3

，或

a=2 b=9

，
当a=1，b=3时，
f′（x）=3x²+6x+3=3（x+1）²≥0，
∴f（x）在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a=2，b=9时，
f′（x）=3x²+12x+9=3（x+1）（x+3），
当x∈（-∞，-3）时，f（x）为增函数；
当x∈（-3，-1）时，f（x）为减函数；
当x∈（-1，+∞）时，f（x）为增函数；
∴f（x）在x=-1时取得极小值．
∴a=2，b=9．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，是一道基础题．