Question

已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．
（1）若函数f（x）在区间（m，m+

1

3

）（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f（x）≥

t

x+1

恒成立，求实数t的取值范围；
（3）求证：

n

i=1

ln[i•（i+1）]＞n-2（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意k=f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，∴f′（x）=-

lnx

x2

，当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．故f（x）在x=1处取得极大值．列出方程组从而解得

2

3

＜m＜1；
（2）由f（x）≥

t

x+1

得t≤

(x+1)(1+lnx)

x

，令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，从而g′（x）=

x-lnx

x2

，令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-

1

x

=

1-x

x

，因为x≥1，所以h′（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上单调递增．所以h（x）≥h（1）=1＞0，从而g'（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）≥g（1）=2，容易求出t的范围；
（3）由（2）得：f（x）≥

2

x+1

恒成立，即

1+lnx

x

≥

2

x+1

?lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

．令x=n（n+1），则ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，从而

n

i=1

ln[i(i+1)]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]=n-2（1-

1

n+1

）＞n-2，故

n

i=1

ln[i（i+1）]＞n-2，（n∈N^*）．

解答： 解：（Ⅰ）由题意k=f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，∴f′（x）=-

lnx

x2

，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
故f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间（m，m+

1

3

）（其中m＞0）上存在极值，
∴

0＜m1 m+ 1 3＞1

，解得：

2

3

＜m＜1，
即实数m的范围是（

2

3

，1）．
（2）由f（x）≥

t

x+1

得t≤

(x+1)(1+lnx)

x

，
令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，
∴g′（x）=

x-lnx

x2

，
令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-

1

x

=

1-x

x

，
因为x≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上单调递增．
所以h（x）≥h（1）=1＞0，从而g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）≥g（1）=2，
所以实数t的取值范围是（-∞，2]．
（3）由（2）得：f（x）≥

2

x+1

恒成立，
即

1+lnx

x

≥

2

x+1

?lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

．
令x=n（n+1），则ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

∴ln（1×2）＞1-

2

1×2

，1n（2×3）＞1-

2

2×3

，…，lnn（n+1）＞1-

2

n(n+1)

．
将以上n个式子相加得：

n

i=1

ln[i(i+1)]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]
=n-2（1-

1

n+1

）＞n-2，
故

n

i=1

ln[i（i+1）]＞n-2，（n∈N^*）．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的最值问题，求参数的范围，以及不等式的证明问题，是一道综合题．