已知动点M到定点（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．
（Ⅰ）求点M的轨迹曲线C的方程；
（Ⅱ）大家知道，过圆上任意一点P，任意作两条相互垂直的弦PA，PB，则弦AB必过圆心（定点），受此启发，过曲线C上一点P，任意作两条相互垂直的弦PA，PB．
（ⅰ）若点P恰好是曲线C的顶点，则弦AB是否经过一个定点？若经过定点（设为Q），请求出Q点的坐标，否则说明理由；
（ⅱ）试探究：若改变曲线C的开口，且点P不是曲线C的顶点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出一个使（ⅰ）中的结论成立的命题，并加以证明，否则说明理由．

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）求f（5）的值；
（2）利用合情推理归纳出f（n+1）与f（n）的关系，并求f（n）的表达式；
（3）求证：

1

f(1)

+

1

f(2)+3

+

1

f(3)+5

+…+

1

f(n)+2n-1

＜

3n-1

2n

．

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若PA=AD，求二面角P-DC-A的平面角的大小．

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D、P为棱CC₁、BB₁的中点，O为△ABC重心，求证：OP∥平面AB₁D．

设P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函数f（x）=

2x

2x+ 2

图象上的两点，记点P（

1

2

，y₀），且满足

OP

=

1

2

（

OP1

+

OP2

）．
（1）求y₀；
（2）若S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n

n

），其中n∈N^*，求S_n；
（3）若

n

Sn+ 2

＜a（S_n+1+

2

）对一切正整数n都成立，求实数a的取值范围．

如图：已知三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=

1

2

AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
（1）求面MNC与面NCB所成的锐二面角的余弦值．
（2）在线段PA（包括端点）上是否存在一点Q，使SQ⊥平面MNC？若存在，确定Q的位置；若不存在，说明理由．

用二项式定理证明：
（1）2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4（n∈N^*）能被25整除；
（2）（

2

3

）^n-1＜

2

n+1

（n∈N^*，且n≥3）．

设m，n都是不等于1的正数，并且log_m3＞log_n3，试比较m，n的大小．

已知函数f（x）=a^x-

1

ax

，且a^tf（2t）+mf（t）≥0，求m的值．

已知椭圆E₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）椭圆E₂的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其长轴长和短轴长分别是椭圆E₁长轴长和短轴长的

λ

倍（λ＞0，λ≠1）．
（Ⅰ）求椭圆E₂的方程；并证明椭圆E₁，E₂的离心率相同；
（Ⅱ）当λ=2时，设M，N是椭圆E₁上的两个点，OM，ON的斜率分别是k_OM，k_ON，且k_OM•k_ON=-

b2

a2

（O是坐标原点），若OMPN是平行四边形，证明：点P在椭圆E₂上．