Question

设P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函数f（x）=

2x

2x+ 2

图象上的两点，记点P（

1

2

，y₀），且满足

OP

=

1

2

（

OP1

+

OP2

）．
（1）求y₀；
（2）若S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n

n

），其中n∈N^*，求S_n；
（3）若

n

Sn+ 2

＜a（S_n+1+

2

）对一切正整数n都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出P为P₁P₂的中点，y1+y2=

2x1

2x1+ 2

+

2x2

2x2+ 2

=1，由此能求出y0=

y1+y2

2

=

1

2

．
（2）由（1）知x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，f(1)=2-

2

，由此利用倒序相加求和法能求出Sn=

n+3-2 2

2

．
（3）由

n

Sn+ 2

=

n

n+3 2

=

2n

n+3

，Sn+1+

2

=

n+4

2

，知

n

Sn+ 2

＜a（S_n+1+

2

）对一切正整数n都成立，等价于a＞

2n n+3

n+4 2

=

4

n+ 12 n +7

，由此能求出实数a的取值范围是（

2

7

，+∞）．

解答： 解：（1）∵

OP

=

1

2

（

OP1

+

OP2

），∴P为P₁P₂的中点，
∵P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函数f（x）=

2x

2x+ 2

图象上的两点，P（

1

2

，y₀），
∴y1+y2=

2x1

2x1+ 2

+

2x2

2x2+ 2

=1，
∴y0=

y1+y2

2

=

1

2

．
（2）由（1）知x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，f(1)=2-

2

，
∵S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n

n

），
∴S_n=f（

n

n

）+f（

n-1

n

）+…+f（

1

n

），
∴2S_n=f（1）+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]+[f（

2

n

）+f（

n-2

n

）]+…+[f（

n-1

n

）+f（

1

n

）]+f（1）
=2f（1）+n-1
=2（2-

2

）+n-1
=n+3-2

2

，
∴Sn=

n+3-2 2

2

．
（3）∵

n

Sn+ 2

=

n

n+3 2

=

2n

n+3

，Sn+1+

2

=

n+4

2

，
且

n

Sn+ 2

＜a（S_n+1+

2

）对一切正整数n都成立，
∴a＞

2n n+3

n+4 2

=

2n

n+3

×

2

n+4

=

4n

n2+7n+12

=

4

n+ 12 n +7

，
∴当且仅当n≈

12

n

，即n=4时，
a＞

4

4+ 12 4 +7

=

2

7

．
∴实数a的取值范围是（

2

7

，+∞）．

点评：本题考查点的纵坐标的求法，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意倒序相加求和法的合理运用．