Question

已知动点M到定点（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．
（Ⅰ）求点M的轨迹曲线C的方程；
（Ⅱ）大家知道，过圆上任意一点P，任意作两条相互垂直的弦PA，PB，则弦AB必过圆心（定点），受此启发，过曲线C上一点P，任意作两条相互垂直的弦PA，PB．
（ⅰ）若点P恰好是曲线C的顶点，则弦AB是否经过一个定点？若经过定点（设为Q），请求出Q点的坐标，否则说明理由；
（ⅱ）试探究：若改变曲线C的开口，且点P不是曲线C的顶点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出一个使（ⅰ）中的结论成立的命题，并加以证明，否则说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用抛物线的定义，可求点M的轨迹曲线C的方程；
（Ⅱ）（i）求出A，B的坐标，可得直线AB的方程，令y=0，可得直线AB必过定点Q（4，0）；
（ⅱ）过抛物线y²=2px上顶点以外的定点P任作两条相互垂直的弦PA，PB，则弦AB必过定点．假设AB过定点Q（a，b），

y1-b

y12 2p -a

=

y2-b

y22 2p -a

化简得y₁y₂-b（y₁+y₂）+2pa=0，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）M到定点（1，0）的距离等于到定直线x=-1的距离，
∴轨迹为抛物线…（2分）
轨迹方程为y²=4x…（3分）
（Ⅱ）（i）依题意得设OA：y=kx，（k≠0），此时OB：y=-

1

k

x
由

y=kx y2=4x

得A(

4

k2

，

4

k

)，…（5分）
同理B（4k²，-4k）…（6分）
因此AB方程为y+4k=

4 k +4k

4 k2 -4k2

(x-4k2)
即y+4k=

1

1 k -k

(x-4k2)…（7分）
令y=0得4k(

1

k

-k)=x-4k2，∴x=4，
∴直线AB必过定点Q（4，0）…（8分）
（ii）结论：过抛物线y²=2px上顶点以外的定点P任作两条相互垂直的弦PA，PB，则弦AB必过定点．
设点P（x₀，y₀）为y²=2px上一定点（非原点），则y02=2px0
过P作互相垂直的弦PA，PB
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y12=2px1，y22=2px2，
∴

y1-y0

x1-x0

•

y2-y0

x2-x0

=-1，
∴

y1-y0

y12 2p - y02 2p

•

y2-y0

y22 2p - y02 2p

=-1，
化简得(y1+y0)(y2+y0)=-4p2即y1y2+y0(y1+y2)+y02+4p2=0（*）…（10分）
假设AB过定点Q（a，b），则有

y1-b

x1-a

=

y2-b

x2-a

即

y1-b

y12 2p -a

=

y2-b

y22 2p -a

化简得y₁y₂-b（y₁+y₂）+2pa=0（**）…（12分）
比较（*）、（**）得a=2p+x₀，b=-y₀，
∴过定点Q（x₀+2p，-y₀）…（13分）

点评：本题主要考查抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力及创新意识，考查化归与转化思想，数形结合思想以及特殊与一般思想．