已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，左右焦点分别为F₁、F₂，抛物线y²=4

3

x的焦点F恰好是该椭圆的一个焦点．
（1）求椭圆方程；
（2）过椭圆的左顶点A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，满足

AM

•

AN

=0，当点M在椭圆上运动时，直线MN是否经过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），离心率为

3

2

，长轴长为4，圆O：x²+y²=1（O为原点），直线l：y=kx+m是圆O的一条切线，且直线l与椭圆M交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）求△AOB的面积取最大值时直线l的斜率k的值．

平面向量

a

=（3，-4），

b

=（2，-

8

3

），

c

=（2，y），

a

⊥

c

，
（Ⅰ）计算：4

a

-3

b

；  
（Ⅱ）求向量

c

的坐标； 
（Ⅲ）求

b

与

c

夹角．

已知点A（1，1），B（1，-1），C（

2

cosθ，

2

sinθ）（θ∈R），O为坐标原点．
（1）若实数m，n满足m

OA

+n

OB

=2

OC

，求m²+n²；
（2）问原点O能否成为△ABC的重心？

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B-C）-1=6cosBcosC．
（Ⅰ）求cosA；
（Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为2

2

，且b＞c，求b，c．

已知椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，离心率e=

2

3

，一个顶点坐标为（0，

5

），以椭圆的右焦点为圆心的圆C与直线3x-4y+4=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）过点Q（0，-3）的直线m与圆C交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且为x₁x₂+y₁y₂=3时，求△AOB的面积．

已知圆C过坐标原点，且分别与x轴、y轴交于点A（6，0）、B（0，8）．
（1）求圆C的方程，并指出圆心和圆的半径；
（2）若点（x，y）∈圆C，求

y+1

x+7

的取值范围．

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，连接A₁C，BD．
（1）求三棱锥A₁-BCD的体积．
（2）求证：A₁C⊥BD．

已知双曲线C的两个焦点的坐标为为F₁（-6，0），F₂（6，0），且经过点P（-5，2）．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）求以双曲线C的左顶点为焦点的抛物线的标准方程．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且过点（-

2 6

3

，1）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆的右焦点F作两条直线分别与椭圆交于A，C与B，D，若

AC

•

BD

=0，求四边形ABCD面积的取值范围．